Approximation en loi de puissance des comptages

En nous plaçant à la fréquence $\nu$ (indice que nous n'indiquerons plus), les comptages peuvent s'approximer par une loi de puissance, en tout cas dans un domaine limité de flux, qu'il s'agisse du cas euclidien ou relativiste.

Figure 4.1: Schéma de l'approximation en loi de puissance pour les comptages intégraux: S_$\star$ représente le flux de convergence du fond, et S_min le flux minimum des observations.

Si au flux S₀ il y a N₀ sources, et si $\alpha$ devient nulle pour les flux inférieurs à S_$\star$ (pour qu'il y ait convergence du fond) comme l'indique schématiquement la figure 4.1, les comptages peuvent s'approximer, dans le cas différentiel, par:

$${\frac{dN}{dS}} \alpha {\frac{N_0}{S_0}} \left(\vphantom{ \frac{S}{S_0} }\right. {\frac{S}{S_0}} \left.\vphantom{ \frac{S}{S_0} }\right)^{- \alpha - 1}_{}$$ (4.21)

et dans le cas intégral par:

$$\int_{S_0}^{\infty} {\frac{dN}{dS}} \left(\vphantom{ \frac{S}{S_0} }\right. {\frac{S}{S_0}} \left.\vphantom{ \frac{S}{S_0} }\right)^{- \alpha}_{}$$ (4.22)