Comptages et rayonnement de fond

La brillance I(S_min, S) des sources de flux compris entre S_min et S à travers le lobe $\omega$ est donnée par:

$$\int_{S_{min}}^{S} {\frac{dN}{dS}}$$ (4.23)

En utilisant l'approximation en loi de puissance de l'équation 4.21, nous obtenons:

$${\frac{- \alpha}{\alpha -1}} \left[\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S} \right ) ^{\alpha -1} - \left ( \frac{S_0}{S_{min}} \right ) ^{\alpha -1} }\right. \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right. {\frac{S_0}{S}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right)^{\alpha -1}_{} \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S_{min}} }\right. {\frac{S_0}{S_{min}}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S_{min}} }\right)^{\alpha -1}_{} \left.\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S} \right ) ^{\alpha -1} - \left ( \frac{S_0}{S_{min}} \right ) ^{\alpha -1} }\right]$$ (4.24)

$\alpha$ étant supérieur à 1, le facteur $\alpha$ - 1 est toujours positif, de sorte que I est toujours dominée par le terme (${\frac{S_0}{S_{min}}}$)^{$\alpha$ - 1}, c'est-à-dire par la borne inférieure de flux: le fond est dominé par les sources de flux S_min, le flux limite de détection.

Il est alors possible de calculer la contribution des sources résolues r(S_min) d'un relevé profond de sensibilité S_min au CIB, le fond extragalactique total à la fréquence $\nu$ de brillance I_CIB:

$${\frac{I(S_{min},\infty)}{I_{CIB}}}$$ (4.25)

En calculant la valeur totale du fond dans le cadre de l'approximation en loi de puissance I(0,$\infty$), nous voyons que la population qui domine le fond est la population de sources de flux autour de S_$\star$, quelle que soit la valeur de $\alpha$ > 1. En effet, l'expression de I(0,$\infty$) fait intervenir deux facteurs: $\left(\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right.$${\frac{S_0}{S}}$$\left.\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right)^{\alpha -1}_{}$ avec S tendant vers l'infini et $\left(\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right.$${\frac{S_0}{S_{\star}}}$$\left.\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right)^{\alpha -1}_{}$, terme dominant.