Fluctuations du fond

Les sources observées à l'intérieur d'un lobe créent des fluctuations. Dans le cas poissonien (pas de corrélation spatiale des sources), l'écart-type $\sigma_{B}^{2}$(0, S) des fluctuations dans le lobe d'angle solide $\omega$ dû aux sources de flux inférieur à S, exprimé en Jy²/sr est:

$$\sigma_{B}^{2} {\frac{1}{\omega}} \int_{0}^{S} {\frac{dN}{dS}}$$ (4.26)

De même que pour le calcul de la brillance du fond, en nous plaçant dans l'approximation en loi de puissance et en notant que l'intégration à partir de la borne inférieure zéro revient à utiliser S_$\star$, c'est-à-dire $\sigma_{B}^{2}$(0, S) = $\sigma_{B}^{2}$(S_$\star$, S), nous obtenons:

$$\sigma_{B}^{2} \star {\frac{1}{\omega}} {\frac{- \alpha}{\alpha -2}} \left[\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S} \right ) ^{\alpha -2} - \left ( \frac{S_0}{S_{\star}} \right ) ^{\alpha -2} }\right. \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right. {\frac{S_0}{S}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S} }\right)^{\alpha -2}_{} \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right. {\frac{S_0}{S_{\star}}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right)^{\alpha -2}_{} \left.\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S} \right ) ^{\alpha -2} - \left ( \frac{S_0}{S_{\star}} \right ) ^{\alpha -2} }\right]$$ (4.27)

L'étude des fluctuations des sources de flux inférieur au flux limite de détection S_min, $\sigma_{B}^{2}$(S_$\star$, S_min), apporte des contraintes sur la nature des sources se situant à un flux qui dépend de l'évolution, c'est-à-dire de $\alpha$.

$$\sigma_{B}^{2} \star {\frac{1}{\omega}} {\frac{- \alpha}{\alpha -2}} \left[\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S_{min}} \right ) ^{\alpha -2} - \left ( \frac{S_0}{S_{\star}} \right ) ^{\alpha -2} }\right. \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S_{min}} }\right. {\frac{S_0}{S_{min}}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S_{min}} }\right)^{\alpha -2}_{} \left(\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right. {\frac{S_0}{S_{\star}}} \left.\vphantom{ \frac{S_0}{S_{\star}} }\right)^{\alpha -2}_{} \left.\vphantom{ \left ( \frac{S_0}{S_{min}} \right ) ^{\alpha -2} - \left ( \frac{S_0}{S_{\star}} \right ) ^{\alpha -2} }\right]$$ (4.28)

Dans le cas euclidien où $\alpha$ = 3/2, $\alpha$ - 2 est négatif de sorte que $\sigma_{B}^{2}$(S_$\star$, S_min) est dominé par le rapport ${\frac{S_{min}}{S_0}}$, c'est-à-dire que les fluctuations sont dominées par les sources juste au dessous du seuil de détection. Dans le cas où $\alpha$ est supérieur à 2, ce qui correspond à une forte évolution, le rapport ${\frac{S_{\star}}{S_0}}$ domine $\sigma_{B}^{2}$(S_$\star$, S_min), de sorte que les fluctuations sont dominées par la population de très faible flux au niveau de S_$\star$: l'étude des fluctuations s'avère dans ce cas être un outil cosmologique puissant pour sonder des populations de sources faibles en flux apparent, dominant le fond.