Comptages dans le cas euclidien

Le cas dit euclidien est le plus simple envisageable, et les hypothèses sont les suivantes. La courbure de l'espace est négligée, c'est-à-dire que la géométrie est euclidienne dans un Univers plat. Ensuite l'Univers est considéré comme statique, c'est-à-dire que l'expansion est négligée. Enfin, on suppose que les sources n'évoluent pas. Dans ce cas, le comptage des sources peut s'exprimer de manière analytique.

Soit L_$\nu$ la luminosité d'une source par unité de fréquence, exprimée par exemple en W Hz^-1. La luminosité totale L sera:

$$\int \nu \nu$$ (4.1)

La densité de flux S_$\nu$ reçu de la source à la fréquence $\nu$, exprimée en Jansky ( 1 Jy = 10^-26 W m^-2 Hz^-1) sera:

$$\nu {\frac{L_{\nu}}{4 \pi r^2}}$$ (4.2)

où r est la distance á la source.

Considérons des sources dont la luminosité est comprise, à la fréquence $\nu$, entre L_$\nu$ et L_$\nu$ + dL_$\nu$, observée par un instrument qui ne les détecte qu'entre des flux compris entre S_$\nu$ et S_$\nu$ + dS_$\nu$. Ces sources seront à une distance r telle que:

$$\sqrt{\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }$$ (4.3)

Supposons que la densité $\cal {N}$₀ (en Mpc^-3) de ces sources dans l'Univers est constante, les observations sélectionnent donc une nombre de source dN, situées dans une coquille, à l'extérieur d'une sphère de rayon r et à l'intérieur d'une sphère de rayon r + dr, tel que:

$$\cal {N} \pi$$ (4.4)

ce qui s'exprime aussi, en utilisant l'équation 4.3 et donc le fait que dr = ${\frac{1}{2}}$S_$\nu$^-3/2dS_$\nu$$\sqrt{\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$ (le signe moins n'a pas été pris en compte; en toute rigueur il faudrait dire que nous prenons | dr|):

$${\textstyle\frac{1}{2}} \cal {N} \pi \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right. {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }} \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{} \nu \nu$$ (4.5)

Notons que dans le cas plus réaliste où la densité n'est pas constante mais dépend de la luminosité de la source, on introduit la fonction de luminosité $\phi$(L_$\nu$) et $\cal {N}$₀ = $\int$$\phi$(L_$\nu$)dL_$\nu$. Il convient alors de remplacer toutes les expressions $\cal {N}$₀$\left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right.$${\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$$\left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right)^{3/2}_{}$ par $\int$$\phi$(L_$\nu$)$\left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right.$${\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$$\left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right)^{3/2}_{}$dL_$\nu$.

Les comptages de sources différentiels, nombre de sources par stéradian et par unité de densité de flux avec des densités de flux comprises entre S_$\nu$ et S_$\nu$ + dS_$\nu$, s'expriment donc dans le cas euclidien:

$${\frac{dN}{dS_{\nu}}} {\textstyle\frac{1}{2}} \cal {N} \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right. {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }} \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{} \nu$$ (4.6)

et les comptages de sources intégraux donnent le nombre de sources par stéradian plus brillantes que S_$\nu$:

$$\nu {\textstyle\frac{1}{3}} \cal {N} \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right. {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }} \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{} \nu$$ (4.7)

Il est courant d'exprimer les comptages en paramétrisant les expressions par $\alpha$:

$${\frac{dN}{dS_{\nu}}} \propto \nu \alpha$$ (4.8)

et

$$\nu \propto \nu \alpha$$ (4.9)

Dans le cas euclidien $\alpha$ = 3/2, et les comptages différentiels ont une pente de 5/2, et les comptages intégraux 3/2, dans un diagramme logN-logS. En général, la partie brillante des comptages de galaxies est formée par des galaxies locales pour lesquelles l'approximation euclidienne est une bonne approximation.