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Comptages dans le cas euclidien

Le cas dit euclidien est le plus simple envisageable, et les hypothèses sont les suivantes. La courbure de l'espace est négligée, c'est-à-dire que la géométrie est euclidienne dans un Univers plat. Ensuite l'Univers est considéré comme statique, c'est-à-dire que l'expansion est négligée. Enfin, on suppose que les sources n'évoluent pas. Dans ce cas, le comptage des sources peut s'exprimer de manière analytique.

Soit L$\scriptstyle \nu$ la luminosité d'une source par unité de fréquence, exprimée par exemple en W Hz-1. La luminosité totale L sera:

L = $\displaystyle \int$L$\scriptstyle \nu$d$\displaystyle \nu$ (4.1)

La densité de flux S$\scriptstyle \nu$ reçu de la source à la fréquence $ \nu$, exprimée en Jansky (Jy = 10-26 W m-2 Hz-1) sera:

S$\scriptstyle \nu$ = $\displaystyle {\frac{L_{\nu}}{4 \pi r^2}}$ (4.2)

où r est la distance á la source.

Considérons des sources dont la luminosité est comprise, à la fréquence $ \nu$, entre L$\scriptstyle \nu$ et L$\scriptstyle \nu$ + dL$\scriptstyle \nu$, observée par un instrument qui ne les détecte qu'entre des flux compris entre S$\scriptstyle \nu$ et S$\scriptstyle \nu$ + dS$\scriptstyle \nu$. Ces sources seront à une distance r telle que:

r = $\displaystyle \sqrt{\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }$ (4.3)

Supposons que la densité $ \cal {N}$0 (en Mpc-3) de ces sources dans l'Univers est constante, les observations sélectionnent donc une nombre de source dN, situées dans une coquille, à l'extérieur d'une sphère de rayon r et à l'intérieur d'une sphère de rayon r + dr, tel que:

dN = $\displaystyle \cal {N}$04$\displaystyle \pi$r2dr (4.4)

ce qui s'exprime aussi, en utilisant l'équation 4.3 et donc le fait que dr = $ {\frac{1}{2}}$S$\scriptstyle \nu$-3/2dS$\scriptstyle \nu$$ \sqrt{\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$ (le signe moins n'a pas été pris en compte; en toute rigueur il faudrait dire que nous prenons | dr|):

dN = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cal {N}$0 4$\displaystyle \pi$ $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right.$$\displaystyle {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{}$ S$\scriptstyle \nu$-5/2dS$\scriptstyle \nu$ (4.5)

Notons que dans le cas plus réaliste où la densité n'est pas constante mais dépend de la luminosité de la source, on introduit la fonction de luminosité $ \phi$(L$\scriptstyle \nu$) et $ \cal {N}$0 = $ \int$$ \phi$(L$\scriptstyle \nu$)dL$\scriptstyle \nu$. Il convient alors de remplacer toutes les expressions $ \cal {N}$0$ \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right.$$ {\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$$ \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right)^{3/2}_{}$ par $ \int$$ \phi$(L$\scriptstyle \nu$)$ \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right.$$ {\frac{L_{\nu}}{4 \pi}}$$ \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi} }\right)^{3/2}_{}$dL$\scriptstyle \nu$.

Les comptages de sources différentiels, nombre de sources par stéradian et par unité de densité de flux avec des densités de flux comprises entre S$\scriptstyle \nu$ et S$\scriptstyle \nu$ + dS$\scriptstyle \nu$, s'expriment donc dans le cas euclidien:

$\displaystyle {\frac{dN}{dS_{\nu}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \cal {N}$0 $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right.$$\displaystyle {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{}$ S$\scriptstyle \nu$-5/2 (4.6)

et les comptages de sources intégraux donnent le nombre de sources par stéradian plus brillantes que S$\scriptstyle \nu$:

N(S > S$\scriptstyle \nu$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ $\displaystyle \cal {N}$0 $\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right.$$\displaystyle {\frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} }}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{L_{\nu}}{4 \pi S_{\nu} } }\right)^{3/2}_{}$ S$\scriptstyle \nu$-3/2 (4.7)

Il est courant d'exprimer les comptages en paramétrisant les expressions par $ \alpha$:

$\displaystyle {\frac{dN}{dS_{\nu}}}$ $\displaystyle \propto$ S$\scriptstyle \nu$- $\scriptstyle \alpha$ - 1 (4.8)

et

N(S > S$\scriptstyle \nu$) $\displaystyle \propto$ S$\scriptstyle \nu$- $\scriptstyle \alpha$ (4.9)

Dans le cas euclidien $ \alpha$ = 3/2, et les comptages différentiels ont une pente de 5/2, et les comptages intégraux 3/2, dans un diagramme logN-logS. En général, la partie brillante des comptages de galaxies est formée par des galaxies locales pour lesquelles l'approximation euclidienne est une bonne approximation.


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Dr Hervé Dole, University of Arizona, http://mips.as.arizona.edu/~hdole Mon 05-Feb-2001 16:58 PST